Niesprzeczność
Podstawowe wymaganie matematyki
Podstawowym wymaganiem, jakie stawia się teoriom matematyki, jest niesprzeczność. Dzięki pracom takich matematyków jak Hilbert, Gödel, Church, Post, Tarski i wielu innych wiemy obecnie, że jest to także najostrzejsze wymaganie, jakie można im stawiać. Historycznie wcześniejszy pogląd, jakoby można dodatkowo od teorii zażądać zupełności, to znaczy możliwości dowiedzenia wszystkich twierdzeń w ramach raz ustalonej bazy wiedzy, okazał się nie do spełnienia dla dostatecznie rozbudowanych teorii. W latach 30. XX wieku Kurt Gödel dowiódł dwa ważne twierdzenia zwane współcześnie jego imieniem. Wnioski z nich stwierdzają, że teoria aksjomatyczna zawierająca w sobie arytmetykę liczb naturalnych jest albo niesprzeczna albo zupełna, nigdy zaś nie ma obydwu tych własności jednocześnie. Tym samym, jeśli uznamy, że w ramach dowodzenia twierdzeń i ich wyrażania posługujemy się pewnym z góry ustalonym i statycznym zespołem reguł, to niemożliwe jest dowiedzenie wszystkich zdań wyrażalnych w takim systemie. W szczególności Gödel dowodząc swoje twierdzenia podał ogólną metodę konstrukcji zdań, twierdzeń, które nie mogą zostać dowiedzione na gruncie arytmetyki liczb naturalnych, choć wyrażają pewną prawdę o liczbach naturalnych środkami dopuszczalnymi w ramach aksjomatyki Peano.
Sytuacja taka z początku była przez wielu oceniana jako ograniczenie matematyki: oto wiedza matematyczna nie pozwala odpowiedzieć na wszystkie pytania jakie można w matematyce zadać. Rychło jednak głębsze zrozumienie znaczenia twierdzeń Gödla doprowadziło do spostrzeżenia, że stan ten odnosi się do założenia, że matematyk posługuje się z góry określonym zestawem metod dowodzenia. Tym samym utracona została nie tyle zdolność matematyki do dowodzenia prawdy matematycznej, co raczej wykazana została niezdolność finitystycznych systemów formalnych do jej wyrażania. Między innymi dlatego, pomimo odkrycia twierdzeń Gödla i Tarskiego (o niewyrażalności prawdy w systemie finitystycznym), matematyka ma się świetnie, powstają nowe teorie i w zasadzie nie dostrzega się żadnych objawów kryzysu pojęciowego związanego z opisanymi ograniczeniami. Warto także pamiętać, że zbiór zdań prawdziwych dowolnej teorii (który nie jest tożsamy ze zbiorem twierdzeń tej teorii) jest zbiorem zupełnym. Twierdzenie Gödla wskazuje bowiem na przypadłość pewnej metody dowodzenia twierdzeń, mianowicie metody formalnej, nie zaś na wadę teorii jako takiej, rozumianej jako możliwość wypowiadania się o pewnych bytach abstrakcyjnych. Za przykład unaoczniający tę różnicę można podać twierdzenia, których nie daje się dowieść na gruncie arytmetyki choć mają czysto kombinatoryczną treść (zliczanie grafów w ramach teorii Ramseya), a które jednak można dowodzić posługując się teorią mnogości. Widać jasno, że powodem niedowiedlności tego zdania jest nie tyle jego treść, a więc jakaś zasadnicza niemożliwość wykonania dowodu, jak w wypadku antynomii kłamcy, lecz po prostu brak odpowiednich narzędzi w ramach arytmetyki liczb naturalnych.
Warto wiedzieć, że następujące teorie są zarazem zupełne i niesprzeczne:
- geometria Euklidesa,
- arytmetyka liczb naturalnych bez działania mnożenia,
- arytmetyka liczb naturalnych bez aksjomatu indukcji.
