Poglądy na matematykę
Historyczne poglądy na matematykę
Platon widział w matematyce sposób na obiektywne poznawanie realnie istniejącego świata idei niepoznawalnych innymi metodami aniżeli za pomocą rozumu. Arystoteles uważał, że matematyka to zajęcie, w którym bada się relacje pomiędzy określonymi obiektami, i w której istnienie jest przypisywane owym relacjom, a nie samym obiektom. Wielu matematyków, fizyków i filozofów widziało w matematyce wiedzę praktyczną, system ścisłego wnioskowania, działalność rozumu pozwalającą dedukować prawdy absolutne w sensie obiektywnym, lub prawdy absolutne w sensie prawd dostępnych ludzkiemu poznaniu.
Szczególnie burzliwym okresem badań nad podstawami matematyki był koniec wieku XIX i początek wieku XX aż do lat 30., kiedy badania prowadzili tacy uczeni jak Leopold Kronecker i Luitzen Brouwer - zwolennicy konstruktywizmu, Georg Cantor - twórca teorii mnogości zwalczany przez Kroneckera, Richard Dedekind - twórca spójnej konstrukcji liczb rzeczywistych, Bertrand Russell i Alfred Whitehead - przedstawiciele logicyzmu, David Hilbert - twórca i inicjator programu oparcia matematyki na ścisłych i pozwalających na analizę podstawach (początek formalizmowi) oraz wreszcie Alonzo Church, Emil Leon Post i Kurt Gödel, który wykazał, że formalizm jest koncepcją niemożliwą do realizacji w konstruktywny sposób. Nowe możliwości badania podstaw matematyki otwarły się wobec rozwinięcia przez wspomnianych matematyków teorii dowodu oraz stworzenie przez Alfreda Tarskiego teorii modeli zajmującej się rozmaitymi realizacjami danego zboru aksjomatów i związków między nimi. Następne lata, a zwłaszcza druga połowa XX wieku, wprowadziły do arsenału filozofii matematyki koncepcje antropologiczne, postulujące związek matematyki z kulturą i socjologią, koncepcje quasiempiryczne, zakładające, że wiedza matematyczna jest swego rodzaju uogólnieniem wiedzy powszechnie dostępnej, ale jednak opartej na rzeczywistym empirycznym doświadczeniu itp. Swoje prace publikowali wówczas tacy filozofowie matematyki jak Lakatos, Quine, Putnam i inni.
Współczesne poglądy na matematykę
W filozofii matematyki dominują trzy główne poglądy: formalizm, logicyzm i intuicjonizm.
Formalizm
Zgodnie z założeniami najpopularniejszego prądu w filozofii matematyki, formalizmu, przedmiotem badań matematyki są teorie, które przyjmują do swych rozważań:
- pewien zespół pojęć pierwotnych (niezdefiniowanych na wstępie - takich jak na przykład pojęcie zbioru w teorii mnogości czy punktu w geometrii)
- jakiś układ prawd o tych przedmiotach (czyli aksjomatów)
- wreszcie jakiś zestaw reguł wnioskowania
Zwróćmy uwagę, że według niektórych formalistów (nie wszystkich, np. Hilbert, twórca formalizmu, był innego zdania) aksjomat, to zupełnie dowolne zdanie, które nie musi w szczególności być ani oczywiście prawdziwe, ani w ogóle mieć cokolwiek wspólnego z jakąkolwiek rzeczywistością, w szczególności fizyczną (zastosowaniem matematyki do rzeczywistości zajmuje się głównie fizyka matematyczna). Podobnie zestaw reguł wnioskowania w logice matematycznej nie musi mieć nic wspólnego z klasyczną logiką. Jednak w celu zapewnienia niesprzeczności teorii (co oczywiście nie jest żadnym ścisłym wymogiem: w formalizmie można sobie badać i rozwijać teorie sprzeczne, skoro aksjomaty są dowolne) musimy jakoś zapewnić niesprzeczność aksjomatów. Aby dojść do tego celu wystarczy zrozumieć ich znaczenie a pośrednio być przekonanym o ich prawdziwości. Jak bowiem wykazał Tarski, zbiór zdań prawdziwych stanowi system zupełny. Warto jednak pamiętać, że formalizm nie neguje użyteczności pewnych zbiorów aksjomatów w stosunku do innych, uznając, że pewne obiekty i operacje na nich są bliższe ludzkiemu rozumowi niż inne. W tym sensie np. arytmetyka liczb naturalnych określona według aksjomatyki Peano może być realizowana w wielu różnych i nieizomorficznych modelach, jednak jej model podstawowy obejmujący znane dobrze liczby naturalne jest uprzywilejowany i bliższy naturalnemu rozumieniu pojęć, które aksjomatyka Peano definiuje.
Logicyzm
Zgodnie z założeniami logicyzmu matematyka jest nauką pochodną od logiki zaś jej wszystkie twierdzenia są wyprowadzane z ogólnych praw logiki. Tym samym konstrukcje matematyki wynikają z ogólnych i znanych zasad dedukcji zaś obiekty o których mówią, czyli liczby, figury geometryczne i bardziej skomplikowane struktury, są swego rodzaju wytworami umysłu, pojęciami dostępnymi poznaniu dzięki prawom logiki oraz bezpośredniemu wglądowi. Logicyzm nie wypowiada się na temat ich charakteru ontologicznego.
Intuicjonizm
Intuicjonizm w matematyce to pogląd filozoficzny w zakresie istnienia obiektów matematycznych. Intuicjonizm jest prądem blisko związanym z finityzmem i innymi nurtami konstruktywizmu. Powstał głównie w związku z pojawieniem się teorii mnogości i paradoksów ujawnionych w jej ramach, jednak jego kontekst jest szerszy i ogólnie obejmuje odpowiedź na problemy wynikające z koncepcji nieskończoności i granicy w matematyce. Intuicjoniści uważają, że pewne atrybuty niektórych prostych obiektów matematycznych, jak np. liczb naturalnych czy obiektów geometrycznych lub własności przestrzeni, są nam dane i są dostępne poznaniu dzięki intuicjom jakie posiadamy na ich temat. Uważają oni, że treść twierdzeń matematycznych, a zwłaszcza mechanizmy prowadzące do rozwoju wiedzy matematycznej w znacznej mierze dostępne są dzięki intuicji, możliwości wglądu i zrozumienia ich znaczenia dzięki pewnym często pierwotnym intuicjom umysłu matematyków. Głównym twórcą intuicjonizmu był Luitzen Egbertus Jan Brouwer, który proponował budowę spójnej bazy zasad matematycznych w celu budowy systemu podstaw matematyki z pominięciem koncepcji, które intuicjonizm krytykuje, a więc niekonstruktywne dowody, żonglowanie nieskończonością aktualną itp.
Intuicjonizm neguje prawdziwość niektórych z aksjomatów logiki formalnej, a zwłaszcza aksjomat wyłączonego środka () oraz regułę odrywania, twierdząc, że w niektórych przypadkach fakt udowodnienia, że prawdziwe jest p nie pozwala stwierdzić, że nieprawdziwe jest nie p (zobacz: dowód niekonstruktywny), zwłaszcza gdy sensem udowodnionego zdania p jest teza o istnieniu pewnych obiektów. Tym samym prawo wyłączonego środka stosuje się zdaniem intuicjonistów tylko do określonych zdań i nie obejmuje zdań stwierdzających o istnieniu obiektów. Intuicjoniści twierdzą, że z faktu, iż z założenia że pewne obiekty nie istnieją wynika sprzeczność, nie wynika jeszcze ich istnienie; jeśli nie podano sposobu konstrukcji takich obiektów, to w istocie nie wykazano ich istnienia (pomimo że założenie o ich nieistnieniu prowadzi do sprzeczności). Tym samym stawiają oni znak zapytania w zagadnieniu istnienia tak podstawowych obiektów jak liczby rzeczywiste niewymierne, czy pojęcie "dowolna liczba", które jest dla ortodoksyjnego intuicjonisty pozbawione sensu (można za to wypowiadać sądy o dowolnych konkretnych liczbach).
Intuicjonizm stoi w niejakiej opozycji w stosunku do poglądów upatrujących sensu twierdzeń matematycznych wyłącznie w ich wyprowadzalności z aksjomatów, jak logicyzm, a zwłaszcza formalizm. Szczególnie mocno podkreśla on, że matematyka zawiera pewną treść, zaś udowadnianie i tworzenie nowych twierdzeń jest aktem twórczym nie polegającym wyłącznie na żonglowaniu symbolami matematycznymi.
Program intuicjonizmu realizowany przez Brouwera i jego uczniów nie doczekał się wielu kontynuatorów, pomimo pewnych sukcesów i udanej przebudowy niektórych działów matematyki, by pozostawały w zgodzie z zasadniczymi tezami budowniczych szkoły intuicjonistycznej. Współcześnie intuicjonizm nie ma znaczenia dla rozwoju matematyki, zwłaszcza jako program budowy jej fundamentów i pozostaje raczej prywatnym poglądem intuicjonistów na znaczenie tez matematycznych.
Rozmaitość innych poglądów
Inne obecne poglądy na matematykę są zwykle związane z wymienionymi powyżej, lub mają swe korzenie w wielu historycznych poglądach znanych matematyków i filozofów.
Istotą platonizmu matematycznego jest uznanie, iż byty matematyczne (np. trójkąt, liczba Pi, nieskończoność, zbiór liczb naturalnych) istnieją niezależnie od nas, tj. od ludzi nimi się zajmujących. Tym samym matematyk, pracujący z bytami matematycznymi, dokonuje odkryć a nie tworzy. Warto zwrócić uwagę, że nazwa platonizm kojarzona jest zwykle z nazwą idealizm, zaś skoro idee według tego poglądu istnieją obiektywnie, należałoby mówić o realizmie.
Konstruktywizm jest doktryną intuicjonistyczną, zgodnie z którą dany byt matematyczny uznaje się za dobrze zdefiniowany (czyli uznaje się jego istnienie i umawia się, że warto się nim zajmować) dopiero wtedy, gdy podany zostanie skończony algorytm jego konstrukcji. Konstruktywiści uznają tylko byty spełniające te wymagania. Tak np. zbiór liczb rzeczywistych można skonstruować ze zbioru liczb naturalnych, jednak dla konstruktywisty postępowanie takie jest na ogół nie do przyjęcia, gdyż prowadzi do obiektów takich jak liczby, których rozwinięcie dziesiętne zawiera cyfry, które nie są możliwe do wyliczenia za pomocą żadnej skończonej procedury. Konstruktywizm proponuje wyjście z takiego stanu rzeczy przez rozważanie wyłącznie tych liczb, których rozwinięcia dziesiętne są obliczalne.
Formalizm matematyczny w skrajnej postaci neguje obiektywne istnienie jakichkolwiek bytów matematycznych; w myśl bowiem tej filozofii mniej istotne jest to, czy byty te istnieją obiektywnie - liczą się reguły postępowania z nimi. Matematyka jako taka jest zatem postrzegana jako zbiór reguł i zasad, w myśl których matematycy postępują. Przedmioty postępowań (byty i twory matematyczne) nie są same w sobie tak istotne, jak sposoby działania na nich. Tym samym jest to bliski pogląd do arystotelejskiej koncepcji matematyki, w ramach którego kompletnie bez znaczenia staje się treść twierdzeń matematycznych (semantyka), a jedyne znaczenie przypisuje się wyłącznie mechanicznym operacjom na symbolach (syntaktyce). Znaczący cios takim poglądom zadał Gödel, który udowodnił, że matematyka nie ma zamkniętego charakteru, a więc jej uprawianie zawsze wymaga znajomości treści czy znaczenia wypowiadanych treści, gdyż inaczej nie jest możliwe przeprowadzanie dowodów matematycznych pewnych prawd. Mimo to, współcześnie formalizm jest najpopularniejszym prądem metamatematycznym. Głównie z uwagi na to, że jest programem konstruktywnym, posiadającym jasną i dobrze ugruntowaną metodologię, pozwalającą organizować dostępną wiedzę matematyczną oraz, co nie jest obojętne, przedstawia tę wiedzę w sposób ułatwiający jej przekaz. Warto jednak pamiętać, że matematyka uprawiana przez matematyków zwykle daleka jest od metod formalistycznych, których używa się do przedstawiania znanych i dobrze ugruntowanych teorii, w szczególności do pisania podręczników, a nie do tworzenia nowych twierdzeń czy prawd matematycznych.
Niektórzy uważają, że matematyka bliższa jest w swojej konstrukcji sztuce niż naukom przyrodniczym i widzą w niej spontaniczną realizację intelektu i rozumu.
Jeszcze inni uważają matematykę za specyficzny język, bardzo dobry do opisywania intelektualnych modeli rzeczywistości. Język ten nie pozwala na świadome kłamstwo - jeśli jesteśmy pewni na gruncie naszych założeń, że kłamiemy, to można to wykazać matematycznie na gruncie tych samych założeń. Jest to koncepcja zbliżona do idei myślomowy z Lewej ręki ciemności Ursuli Le Guin.
