Teoria mnogości
Rola teorii mnogości we współczesnej matematyce
Proces definiowania czym jest wiedza matematyczna oraz rozmaite problemy wynikające z braku zadowalającej i ścisłej definicji czym są obiekty matematyczne, oraz w jaki sposób realizowane jest ich istnienie, doprowadziły do intensywnych poszukiwań zadowalających podstaw matematyki. Rolę takich podstawowych teorii, do których sprowadzona miałaby zostać cała matematyka, historycznie pełniło wiele dziedzin związanych z matematyką lub jej działów. Istniały próby sprowadzenia matematyki do teorii typów, w wyniku czego miałaby ona stać się działem logiki. Podobne próby były związane z teorią liczb naturalnych w ramach prądów finitystycznych. Współczesna matematyka od lat 60. XX wieku opiera swoje podstawy na teorii mnogości zaksjomatyzowanej przez Zermelo i Fraenkela. Rozważane były także inne aksjomatyzacje tej teorii, żadna jednak nie uzyskała takiej popularności jak aksjomatyka Zermelo-Fraenkela teorii mnogości. Można zatem powiedzieć, że teoria ta spełnia współcześnie wyróżnioną rolę w matematyce, stanowiąc podstawową teorię aksjomatyczną oraz język w sensie terminologicznym współczesnej matematyki.
Centralnymi pojęciami stają się tu pierwotne pojęcia zbioru i należenia do zbioru. Wprowadza się aksjomaty formalizując podstawowe własności takich obiektów jak aksjomat wyróżniania itp. Rekonstrukcja matematyki polega na stopniowym definiowaniu coraz bardziej złożonych pojęć jak funkcja, klasa abstrakcji, liczba naturalna, liczba rzeczywista.
